Question

Giúp tôi bài toán này 

Chứng minh rằng :

Nếu p và q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 thì p^{2 _} q² chia hết cho 24

Answer 1

Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 4,8 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0,1,2,3,4,5,6,7--> Nếu là số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia hết cho 8 dư 2 thì viết dưới dạng 8k+2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)--> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1(vì 1² chia cho 8 dư 1, 3²=9 chia 8 dư 1, 5²=25 chia 8 dư 1, 7²=49 chia 8 dư 1).

Vậy cả p² và q² chia 8 đều dư 1 --> Hiệu p²-q² chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu.

Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 --> Bình phương số đó chia cho 3 dư 1 (vì 1²=1 chia 3 dư 1; 2²=4 chia 3 dư 1)--> p² và q² chia cho 3 đều dư 1 --> Hiệu p² - q² chia hết cho 3 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)

--> p² - q² đều chia hết cho 3 và 8 , mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau--> p² - q² chia hết cho 3 nhân 8=24