a) Xét \(\Delta DAB\) và \(\Delta DMB:\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{BMD}\left(=90^o\right).\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{MBD}\) (BD là phân giác \(\widehat{B}\)).
\(\Rightarrow\Delta DAB\sim\Delta DMB\left(g-g\right).\)
b) Xét \(\Delta ABM:\)
\(AB=MB\left(\Delta DAB\sim\Delta DMB\right).\)
\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại B.
Mà BD là phân giác \(\widehat{B}\) (gt).
\(\Rightarrow\) BD là đường trung trực của AM.
c) Xét \(\Delta KBC:\)
KM là đường cao \(\left(KM\perp BC\right).\)
CA là đường cao \(\left(CA\perp BK\right).\)
Mà D là giao điểm KM và CA.
\(\Rightarrow\) D là trực tâm.
\(\Rightarrow\) BD là đường cao.
Mà BD là phân giác \(\widehat{B}\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\Delta KBC\) cân tại B.
Xét \(\Delta KBC\) cân tại B:
BN là phân giác \(\widehat{B}\) (BD là phân giác \(\widehat{B}\)).
\(\Rightarrow\) BN là đường cao.
\(\Rightarrow BN\perp KC.\)
d) Xét \(\Delta KBC\) cân tại B:
BN là đường cao (cmt).
\(\Rightarrow\) BN là đường trung tuyến.
\(\Rightarrow\) N là trung điểm KC.
Xét \(\Delta KBC:\)
N là trung điểm KC (cmt).
NP // BC (gt).
\(\Rightarrow\) P là trung điểm BK.
Xét \(\Delta KBC:\)
CP là đường trung tuyến \(\Delta KBC\) (P là trung điểm BK).
KE là đường trung tuyến \(\Delta KBC\) (E là trung điểm BC).
BN là đường trung tuyến \(\Delta KBC\) (N là trung điểm KC).
\(\Rightarrow\) CP, KE, BN đồng quy (đpcm).
