1.
Hàm số \(f\left(x\right)=x^3-4x-1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
Nên \(f\left(x\right)\) cũng liên tục trên \(\left[1;3\right]\)
Ta có: \(f\left(1\right)=-4\) ; \(f\left(3\right)=14\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(3\right)=-56< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left[1;3\right]\)
2.
\(P\left(t\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t^2+1=0\left(vô-nghiệm\right)\\-8t+66=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t=8,25\)
Vậy quần thể bị tiêu diệt hoàn toàn sau 8,25 phút
b.
\(P\left(5\right)=\lim\limits_{t\rightarrow5^+}P\left(t\right)=\lim\limits_{t\rightarrow5^+}\left(-8t+66\right)=-8.5+66=26\)
\(\lim\limits_{t\rightarrow5^-}P\left(t\right)=\lim\limits_{t\rightarrow5^-}\left(t^2+1\right)=5^2+1=26\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{t\rightarrow5^+}P\left(t\right)=\lim\limits_{t\rightarrow5^-}P\left(t\right)=P\left(5\right)\)
\(\Rightarrow P\left(t\right)\) liên tục tại \(t=5\) nên liên tục trên \(\left[2;7\right]\)
Xét hàm \(Q\left(t\right)=P\left(t\right)-9\Rightarrow Q\left(t\right)\) liên tục trên \(\left[2;7\right]\)
\(Q\left(2\right)=P\left(2\right)-9=\left(2^2+1\right)-9=-4\)
\(Q\left(7\right)=P\left(7\right)-9=\left(-8.7+66\right)-9=1\)
\(\Rightarrow Q\left(2\right).Q\left(7\right)=-4< 0\)
\(\Rightarrow Q\left(t\right)=0\) luôn có nghiệm thuộc \(\left[2;7\right]\)
\(\Rightarrow P\left(t\right)-9=0\) luôn có nghiệm thuộc \(\left[2;7\right]\)
\(\Rightarrow P\left(t\right)=9\) luôn có nghiệm thuộc [2;7]
Hay ở 1 thời điểm nào đó trong khoảng thời gian \(t=2\) và t=7 thì số lượng của quần thể là 9000