Kí hiệu như trên hình vẽ.
Giả sử ngược lại, trong ba tam giác S1,S2,S3 không có tam giác nào có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 diện tích tam giác ABC.
Khi đó ta có : \(\frac{S_1.S_2.S_3}{S}>\frac{1}{64}\)
Hay : \(\frac{x\left(b-z\right).y\left(c-x\right).z\left(a-y\right)}{a^2b^2c^2}>\frac{1}{64}\) (*)
Mặt khác, ta có : \(x\left(c-x\right)\le\frac{\left(x+c-x\right)^2}{4}=\frac{c^2}{4}\)
Tương tự \(y\left(a-y\right)\le\frac{a^2}{4}\) , \(z\left(b-z\right)\le\frac{b^2}{4}\)
Nhân theo vế : \(x\left(c-x\right).y\left(a-y\right).z\left(b-z\right)\le\frac{a^2b^2c^2}{64}\)
hay \(\frac{x\left(b-z\right).y\left(c-x\right).z\left(a-y\right)}{a^2b^2c^2}\le\frac{1}{64}\) (vô lí - trái với (*))
Vậy giả thiết thiết phản chứng sai. Ta có đpcm.
