Gọi H là trung điểm AO \(\Rightarrow MH\) là đường trung bình tam giác SAO
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MH=\dfrac{1}{2}SO\\MH||SO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MH\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MNH}\) là góc giữa MN và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{MNH}=60^0\)
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm AB, AD, BN
\(NG=\dfrac{1}{2}BN=\dfrac{1}{4}BC=\dfrac{a}{4}\) ; \(HG=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow NH=\sqrt{NG^2+HG^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\)
\(\Rightarrow MH=NH.tan60^0=\dfrac{a\sqrt{30}}{4}\)
Ta có ME là đường trung bình tam giác SAB \(\Rightarrow ME||SB\), tương tự có \(MF||SD\Rightarrow\left(MEF\right)||\left(SBD\right)\)
\(\Rightarrow\) Góc giữa MN và (SBD) bằng góc giữa MN và (MEF)
NE là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow NE||AC\), tương tự \(EF||BD\)
Mà \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông) \(\Rightarrow NE\perp EF\)
Lại có \(MH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow MH\perp NE\)
\(\Rightarrow NE\perp\left(MEF\right)\) \(\Rightarrow\widehat{NME}\) là góc giữa MN và (MEF)
\(NE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(MN=\sqrt{MH^2+NH^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{NME}=\dfrac{NE}{MN}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\widehat{MNE}\approx26^034'\)
