Question

Giúp mình mấy bài này với:

1. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm x, y ta luôn có:  x³ + y³ > x²y + xy²

2. Tìm x sao cho giá trị của biểu thức 111(x-2) không nhỏ hơn 1998

3. Cho 2 số dương a và b , biết a > 2b: Chứng minh: \(\frac{a-b}{b}\) >1

4.Chứng minh bất đẳng thức sau : x² + y² + z² +  14 > 4x - 2y -6z

Answer 1

1. 

Xét hiệu:

\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)

\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm

2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)

3. Xét hiệu:

\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương

Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương

Answer 2

4) xét hiệu:

\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\

<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z

Vậy suy ra điều cần chứng minh