Bài 30:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{cb+ca-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}$
Mà: $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$ và $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ (theo BĐT AM-GM)
$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cách 2 bài 30:
Đặt $b+c-a=x; a+c-b=y; b+a-c=z$ thì $x,y,z>0$ và $c=\frac{x+y}{2}; a=\frac{y+z}{2}; b=\frac{x+z}{2}$
Bài toán trở thành:
Cho $x,y,z>0$. CMR:
$\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 6$
-------------------------------
Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM thì:
$\text{VT}=(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z})$
$\geq 3\sqrt[3]{\frac{yzx}{xyz}}+3\sqrt[3]{\frac{zxy}{xyz}}=6$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
Bài 31:
a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=1$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$ (đpcm)
c) Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$[(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2][1+1]\geq (a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2$
$=(1+\frac{1}{ab})^2$
$\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{ab})^2$
$\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{\frac{1}{4}})^2)=\frac{25}{4}$ do $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$ theo BĐT AM-GM
Ta có đpcm.
b) Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2\Rightarrow a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$. Mà $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$ theo phần a nên:
$a^4+b^4\geq \frac{1}{8}$ (đpcm)
d) Ứng dụng kết quả từ các phần trước:
$(a+\frac{1}{a})^2+(b-\frac{1}{b})^2=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$
\(=(a^2+b^2)(1+\frac{1}{(ab)^2})\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{(\frac{1}{4})^2})=\frac{17}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
Bài 32:
a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\geq a+b\geq 2$ (do $a+b\geq 2$)
(đpcm)
b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$
Mà theo phần a thì $a^2+b^2\geq a+b\geq 2$ nên:
$a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}\geq a^2+b^2\geq a+b\geq 2$ (đpcm)
c) Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^4+b^4)(a^2+b^2)\geq (a^3+b^3)^2$
$\Rightarrow a^4+b^4\geq \frac{(a^3+b^3)^2}{a^2+b^2}\geq a^3+b^3$ (do phần b ta đã CM $a^3+b^3\geq a^2+b^2$)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Bài 33.
a)
BĐT $\Leftrightarrow a(y+z)+b(x+z)+c(x+y)\leq 2(ax+by+cz)$
$\Leftrightarrow a(y-x)+a(z-x)+b(x-y)+b(z-y)+c(x-z)+c(y-z)\leq 0$
$\Leftrightarrow (x-y)(b-a)+(y-z)(c-b)+(x-z)(c-a)\leq 0$
BĐT này luôn đúng do mỗi hạng tử $(x-y)(b-a)\leq 0; (y-z)(c-b)\leq 0; (x-z)(c-a)\leq 0$ khi $a\geq b\geq c; x\geq y\geq z$
Do đó ta có đpcm.
b) Bạn làm tương tự như trên.
Bài 34:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq a+b+c\) (do $a+b+c\geq 3$)
\((a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}\geq a^2+b^2+c^2\) (do $a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$)
$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq a^3+b^3+c^3$ (do $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 35:
$\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}$
$=1+\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{ab}=1+\frac{2}{ab}$
Theo BĐT AM-GM: $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$
Do đó: $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{2}{ab}\geq 1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
Bài 36:
$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a-b}{3}$
$\Leftrightarrow 3a^3\geq (2a-b)(a^2+ab+b^2)$
$\Leftrightarrow 3a^3\geq a(a^2+ab+b^2)+a^3-b^3$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\geq a(ab+b^2)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b>0$)
Do đó ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Bài 37:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum [a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}]=\sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\)
\(\geq \sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{3ab}=\sum a-\sum \frac{a+b}{3}=\sum a-\frac{2}{3}\sum a=\frac{1}{3}\sum a=\text{VP}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 38:
AD bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{(a+c)^2}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{4(a+b+c+d)^2}{(a+c)(a+b)+(b+d)(b+c)+(c+a)(c+d)+(d+b)(d+a)}=\frac{4(a+b+c+d)^2}{a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)}\)
\(=\frac{4(a+b+c+d)^2}{(a+b+c+d)^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d$
troi oi kho du tui moi hoc lop 4
