GỌi H,G,O là trực tâm , trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , cần chứng minh H,G,O
Vẽ hình bình hành BHCK
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\vec{HB}=\vec{CK}\\KC//BH\end{cases}}\)
\(\Rightarrow KC\perp AC\)
Xét tam giác ACK có \(\widehat{ACK}=90^o\Rightarrow\overline{A,O,K}\)(Do là đường kính)
Có \(\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}\)
\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{HO}\)
\(\Leftrightarrow3\vec{HG}+\vec{0}=2\vec{HO}\)(Hệ thức trọng tâm)
\(\Rightarrow\vec{HG}=\frac{2}{3}\vec{HO}\)
\(\Rightarrow\overline{H,G,O}\left(Dpcm\right)\)
∆ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm của 3 đường trung trực.
Gọi M là trung điểm của BC. Lấy D đối xứng với A qua O
Ta có: OA = OC (tính chất của điểm thuộc đường trung trực)
Mà OA = OD (theo cách chọn điểm phụ) nên OA = OC = OD
Do đó ∆ACD vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp AC\)
Mà \(\Rightarrow BH\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow BH//CD\)(1)
Chứng minh tương tự: \(CH//BD\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD (cũng suy ra được H, M, D thẳng hàng)
∆ADH có AM là trung tuyến và \(AG=\frac{2}{3}AM\left(gt\right)\)nên G là trọng tâm
\(\Rightarrow\)Trung tuyến thứ hai là HO đi qua G
Vậy H, G, O thẳng hàng
Bạn phía dưới làm đúng
∆ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm, O là giao điểm của 3 đường trung trực.
Gọi M là trung điểm của BC. Lấy D đối xứng với A qua O
Ta có: OA = OC (tính chất của điểm thuộc đường trung trực)
Mà OA = OD (theo cách chọn điểm phụ) nên OA = OC = OD
Do đó ∆ACD vuông tại C
Mà (1)
Chứng minh tương tự: (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành có M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD (cũng suy ra được H, M, D thẳng hàng)
∆ADH có AM là trung tuyến và nên G là trọng tâm
Trung tuyến thứ hai là HO đi qua G
Vậy H, G, O thẳng hàng
