a/
Ta có
tg ABC vuông cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{MCA}\)
Mà \(\widehat{ABC}+\widehat{MCA}=180^o-\widehat{A}=180^o-90^o=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{MCA}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\)
Ta có
\(MB=MC\Rightarrow AM\perp BC\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\) (Trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
Xét tg vuông AMB
\(\widehat{BAM}=180^o-\left(\widehat{ABC}+\widehat{AMB}\right)=180^o-\left(45^o+90^o\right)=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MCA}=45^o\)
b/
Xét tg vuông EAM có
\(\widehat{EAM}=180^o-\left(\widehat{AME}+\widehat{AEM}\right)=180^o-\left(90^o+\widehat{AEM}\right)\) (1)
Xét tg vuông KCE có
\(\widehat{KCE}=180^o-\left(\widehat{CKE}+\widehat{CEK}\right)=180^o-\left(90^o+\widehat{CEK}\right)\) (2)
Mà \(\widehat{AEM}=\widehat{CEK}\) (góc đối đỉnh) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{KCE}\)
c/
Ta có
\(\widehat{BAM}=\widehat{MCA}=45^o\) (cmt)
\(\widehat{EAM}=\widehat{KCE}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{EAM}=\widehat{MCA}+\widehat{KCE}\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{ACK}\)
Xét tg vuông BAH và tg vuông ACK có
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACK}\) (cmt)
AB=AC (cạnh bên tg cân)
=> tg BAH = tg ACK (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)
=> BH=AK
d/
Xét tg vuông AME có
\(\widehat{EAM}+\widehat{AEB}=90^o\)
Xét tg vuông BHE có
\(\widehat{EBH}+\widehat{AEB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{EBH}\) (cùng phụ với \(\widehat{AEB}\) )
Xét tg AMK và tg BMH có
\(\widehat{EAM}=\widehat{EBH}\) (cmt)
AK=BH (cmt)
\(AM=BM=CM=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg AMK = tg BMH (c.g.c)=> MH=MK => tg HMK cân tại M
d/
Ta có tg AMK = tg BMH (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{BHM}\)
Mà \(\widehat{BHM}+\widehat{MHK}=\widehat{BHK}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AKM}+\widehat{MHK}=90^o\)
Xét tg MHK có
\(\widehat{HMK}=180^o-\left(\widehat{AKM}+\widehat{MHK}\right)=180^o-90^o=90^o\)
=> tg HMK vuông cân tại M
