1.
Đặt $9n+16=a^2$ và $16n+9=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 144n+16^2=16a^2\\ 144n+9^2=9b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 16a^2-9b^2=16^2-9^2\)
\(\Leftrightarrow (4a-3b)(4a+3b)=175=5^2.7\)
Vì $4a+3b>0; 4a+3b> 4a-3b$ với mọi $a,b\in\mathbb{N}$ nên ta xét các TH sau:
TH1: $4a-3b=1; 4a+3b=175$
$\Rightarrow a=22$
$\Rightarrow n=52$ (tm)
TH2: $4a-3b=5; 4a+3b=35$
$\Rightarrow a=5$
$\Rightarrow n=1$ (tm)
TH3: $4a-3b=7; 4a+3b=25$
$\Rightarrow a=4$
$\Rightarrow n=0$ (tm)
Vậy $n\in\left\{0;1;52\right\}$
2.
Đặt $n^2+3^n=a^2$ với $a$ tự nhiên.
$3^n=a^2-n^2=(a-n)(a+n)$. Do đó tồn tại $u,v\in\mathbb{N}; v> u; v+u=n$ sao cho:
$3^u=a-n; 3^v=a+n$
$\Rightarrow n=\frac{3^v-3^u}{2}$
\(\Leftrightarrow n=\frac{3^u(3^{v-u}-1)}{2}=3^u(3^{v-u-1}+3^{v-u-2}+...+1)=3^{v-1}+3^{v-2}+...+3^u\)
\(\Leftrightarrow u+v=3^{v-1}+3^{v-2}+...+3^u(*)\)
Nếu $v=1$ thì $u<1$ nên $u=0$. Khi đó, $n=1$, hoàn toàn thỏa mãn
Nếu $v=2$ thì $u=0$ hoặc $u=1$. Thay vào $(*)$ thì $v=2; u=1$ kéo theo $n=3$
Nếu $v\geq 3$, bằng quy nạp ta dễ thấy $3^{v-1}> v$ và với $n\geq 0$ thì $3^u\geq u$
$\Rightarrow $u+v< 3^{v-1}+...+3^u$ (loại)
Vậy $n=1;3$
