Question

giúp em với ạ

a)  Với x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x\ge2y\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{x^2+y^2}{xy}\)

b) Chứng minh rằng : \(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}\ge\frac{10}{3}\)

Answer 1

a

Dễ thấy theo AM - GM ta có:

\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{4y}\right)+\frac{3x}{4y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{4y}}+\frac{3\cdot2y}{4y}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=2y\)

b

\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\left[\frac{\left(x^2+3\right)}{9}+\frac{1}{x^2+3}\right]+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9}\cdot\frac{1}{x^2+3}}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=0