Giúp em câu c bài toán sau ạ:
Cho (O) lấy M ở ngoài (O) kẻ 2 tiêp tuyến MA, MB đường kính BC, gọi OM cắt BA tại H. tia phân giác của góc BAM cắt MO tại I. Chứng minh:
a) 4 điểm B, O, A, M thuộc 1 đường tròn.
b) AC//OM và MA^2 = MH.MO và OH.M = OC^2.
c) AB.MO : 2 = MB.OA và chứng minh I thuộc đường tròn cố định khi điểm M thay đổi.
a/
Ta có
\(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)
=> A và B cùng nhìn OM dưới 1 góc \(90^o\) => A và B thuộc đường tròn đường kính OM => B; O; A; M cùng thuộc 1 đường tròn
b/
Ta có
\(\widehat{BAC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow AC\perp AB\)
Ta có
\(OM\perp AB\) (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
=> AC//OM
Xét tg vuông AMO có
\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MA^2=MH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông BMO có
\(MO\perp AB\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow OB^2=OH.MO\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích của hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Mà OB=OC (bán kính (O))
\(\Rightarrow OC^2=OH.MO\)
c/
Ta có
MA=MB (Hai tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm = nhau) (1)
AH=BH (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow AH=BH=\dfrac{AB}{2}\) (2)
Xét tg vuông AHO và tg vuông AMO có
\(\widehat{OAH}=\widehat{AMO}\) (cùng phụ với \(\widehat{AOM}\))
=> tg AHO đồng dạng với tg AMO (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{MA}=\dfrac{OA}{MO}\) (3)
Thay (1) và (2) vờ (3)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{AB}{2}}{MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB}{2MB}=\dfrac{OA}{MO}\Rightarrow\dfrac{AB.MO}{2}-MB.OA\)
Gọi I' là giao của MO với (O), Nối AI'
Ta có
sđ cung AI' = sđ cung BI' (2 tt cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi dây cung bị chặn bởi 2 tiếp điểm)
\(sđ\widehat{MAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungAI'\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{BAI'}=\dfrac{1}{2}sđcungBI'\) (góc nội tiếp đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{MAI'}=\widehat{BAI'}\) => AI' là phân giác của \(\widehat{BAM}\) Mà AI cũng là phân giác của \(\widehat{BAM}\)
Ta có I và I' cùng thuộc MO => \(I\equiv I'\Rightarrow I\in\left(O\right)\) cố định khi M thay đổi
