Bài 3
a) - Gọi 40 số nguyên dương trên lần lượt là \(x_1,x_2,x_3,...,x_{40}\). Các số này sẽ lớn hơn hoặc bằng 1.
*Tìm max của tổng bình phương của chúng:
Giả sử \(x_1\) là số lớn nhất trong 40 số trên \(\Rightarrow x_1>1\).
Ta có nhận xét: \(a^2+b^2\le\left(a+b-1\right)^2+1^2\) với \(a>1,b\ge1\).
Ta sẽ chứng minh điều trên bằng phép biến đổi tương đương:
\(a^2+b^2\le\left(a+b-1\right)^2+1^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le a^2+b^2+1+2ab-2a-2b+1\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab-a-b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\) (đúng vì \(a>1,b\ge1\)).
Dấu "=" xảy ra khi \(b=1\).
Vậy điều trên là đúng. Áp dụng ta có:
\(x_1^2+x^2_2+x_3^2...+x_{40}^2\le\left(x_1+x_2-1\right)^2+1+x_3^2...+x_{40}^2\)
\(\le\left(x_1+x_2-1+x_3-1\right)^2+1+1+...+x_{40}^2\)
\(\le\left(x_1+x_2+x_3+...+x_{40}-39\right)^2+39\)
\(=\left(58-39\right)^2+39=400\)
Vậy GTLN của tổng bình phương của 40 số trên là 400.
*Tìm min của tổng bình phương của chúng:
Số các số phải lớn hơn 1 là: \(58-40=18\) số.
Giả sử các số lớn hơn hoặc bằng 2 là \(x_1,x_2,...,x_{18}\) . Các số lớn hơn hoặc bằng 1 là \(x_{19},x_{20},...,x_{40}\).
\(\Rightarrow\left(x_1^2+x_2^2+...+x_{18}^2\right)+\left(x^2_{19}+x^2_{20}+...+x_{40}^2\right)\ge\left(2^2+2^2+...+2^2\right)+\left(1^2+1^2+...+1^2\right)\)
\(=18.2^2+22.1^2=94\)
Vậy GTNN của tổng bình phương của các số trên là 94.
