lm trên cymath.com
ĐK: x khác 0
Đặt: \(\frac{x^4}{2x^2+1}=t>0\Rightarrow\frac{2x^2+1}{x^4}=\frac{1}{t}\)
Ta có phương trình: \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2=0\Leftrightarrow t=1\)
Với t = 1 ta có: \(\frac{x^4}{2x^2+1}=1\)<=> \(x^4-2x^2-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=1+\sqrt{2}\\x^2=1-\sqrt{2}\left(loai\right)\end{cases}}\)
khi đó: \(x=\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}\)tm
Vậy....
Một cách làm khác :
\(ĐKXĐ:x\ne0\)
Với điều kiện trên thì : \(\hept{\begin{cases}x^4>0\\2x^2+1>0\end{cases}}\)
Do đó áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương ta có :
\(\frac{x^4}{2x^2+1}+\frac{2x^2+1}{x^4}\ge2.\sqrt{\frac{x^4}{2x^2+1}\cdot\frac{2x^2+1}{x^4}}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+1}=\frac{2x^2+1}{x^4}\)
\(\Leftrightarrow x^4=2x^2+1\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-1=\sqrt{2}\\x^2-1=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-1=\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2=\sqrt{2}+1\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\sqrt{2}+1}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\pm\sqrt{\sqrt{2}+1}\right\}\)
