Xét x ≥ 1 thì:
x6 + 3x3 + 1 > x6 + 2x3 + 1 = (x3 + 1)2
và x6 + 3x3 + 1 < x6 + 4x3 + 4 = (x3 + 2)2
=> (x3 + 1)2 < y4 = x6 + 3x3+ 1 < (x3 + 2)2
=> y4 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1
\(\rightarrow\)Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nghiệm (0; -1) và (0;1)
\(\rightarrow\)Xét x = -1: y4 = -1 (vô nghiệm)
\(\rightarrow\)Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2
pt trở thành: y4 = z6 - 3z3+ 1
Ta thấy: z6 - 3z3 + 1 < z6 - 2z3 + 1 (vì z ≥ 2)
=> z6 - 3z3 + 1 < (z3 - 1)2
và (z6 - 3z3 + 1) - (z6 - 4z3+ 4) = z3 - 3 > 0 (do z3 ≥ 8)
=> z6 - 3z3 + 1 > z6 - 4z3 + 4 = (z3 - 2)2
Do đó: (z3 - 2)2 < y4 = z6 - 3z3 + 1 < (z3- 1)2
=> y4 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> pt đã cho vô nghiệm với x ≤ -2
Kết luận pt đã cho có 2 nghiệm là (0; -1) và (0;1)
\(a=x^3\Rightarrow a^2+3a+1=y^4=b^2\)
\(\left(a+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=b^2\Leftrightarrow\left(a+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(a+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=b^2\in N\) vô lí (a thuộc Z ; B thuộc N* )
