Question

Giải PT: \(\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x+1}-1\)

Answer 1

ĐK :...

Đặt \(\sqrt{1-\frac{1}{x}}=a;\sqrt{x+1}=b\) (a; b > 0) 

=> \(\frac{1}{x}=1-a^2;x=b^2-1\)=> \(\frac{1}{x}.x=\left(1-a^2\right)\left(b^2-1\right)=1\) (1)

PT trở thành: a = b - 1 (2)

Thế (2) vào (1) ta được : [1 - (b - 1)²](b² - 1) = 1 <=> (2b - b²)(b² - 1) = 1

<=> 2b³ - 2b - b⁴ + b² = 1 

<=> b⁴ - 2b³ - b² + 2b + 1 = 0 

Nhận xét: b \(\ne\) 0 . Chia cả 2 vế của PT cho b² ta được : \(b^2-2b-1+\frac{2}{b}+\frac{1}{b^2}=0\)

<=> \(\left(b^2-2.b.\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2}\right)-2\left(b-\frac{1}{b}\right)+1=0\)

<=> \(\left(b-\frac{1}{b}\right)^2-2\left(b-\frac{1}{b}\right)+1=0\)

<=> \(\left(b-\frac{1}{b}-1\right)^2=0\) <=> \(b-\frac{1}{b}-1=0\) <=> b² - 1 - b = 0 

GPT tìm đc b . Đối chiếu ĐK => x ....