Nhân cả hai vế của phương trình với 2 ta có:
\(4x+2\sqrt{x}.\sqrt{3x+2}=6\left(\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}\right)+4\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\sqrt{x}.\sqrt{3x+2}+3x+2\right)-2=6\left(\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}\right)+4\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}\right)^2=6\left(\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}\right)+4\sqrt{2}\)
Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{3x+2},x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}\ge\sqrt{2}\)
phương trình trở thành: \(t^2-6t-4\sqrt{2}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=4+2\sqrt{2}\left(tm\right)\\t=2-2\sqrt{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Với \(t=4+2\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{3x+2}=4+2\sqrt{2}\)
Đặt:\(a=\sqrt{x},b=\sqrt{3x+2},q=4+2\sqrt{2}\)ta có hệ sau:
\(\hept{\begin{cases}a+b=q\\3a^2-b^2=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=q-a\\3a^2-\left(q-a\right)^2=-2\end{cases}}\Leftrightarrow2a^2+2qa-\left(q^2-2\right)=0\)
suy ra: \(a=\frac{-q+\sqrt{3q^2-4}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{-q+\sqrt{3q^2-4}}{2}\)
vậy \(x=\left(\frac{-q+\sqrt{3q^2-4}}{2}\right)^2\)với \(q=4+2\sqrt{2}\)
