\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)
\(x^4+x^3+2x^2+x^3+x^2+2x+x^2+x+2=12\)
\(x^4+2x^3+4x^2+3x+2=12\)
\(x^4+2x^3+4x^2+3x+2-12=0\)
\(x^4+2x^3+4x^2+3x-10=0\)
\(\left(x^2+x+5\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\)
TH1 : \(x^2+x+5=0\)
\(\Delta=1^2-4.1.5=1-20=-19< 0\)
Nên phương trình vô nghiệm.
TH2 : \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
TH3 : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)
Đặt \(x^2+x+1=t\)
\(\Rightarrow t\left(t+1\right)=12\)\(\Leftrightarrow t^2+t=12\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)\(\Leftrightarrow\left(t^2-3t\right)+\left(4t-12\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t\left(t-3\right)+4\left(t-3\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-3=0\\t+4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-4\end{cases}}\)
Ta thấy: \(x^2+x+1=x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow t>0\)\(\Rightarrow t=3\)thoả mãn
\(\Rightarrow x^2+x+1=3\)\(\Leftrightarrow x^2+x+1-3=0\)\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x\right)+\left(2x-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-2;1\right\}\)
Đặt : \(x^2+x+1=u\)
Ta có pt mới sau : \(u\left(u+1\right)-12=0\)
\(< =>u^2+u-12=0\)
\(< =>\orbr{\begin{cases}u=3\\u=-4\end{cases}}\)(giải delta)
Xét : \(x^2+x-1=x^2+1x+\frac{1}{2}^2+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0< =>u>0\)
Nên chỉ có \(u=3\)thỏa mãn
Ta có : \(u=3< =>x^2+x+1=3\)
\(< =>x^2+x-2=0\)
\(< =>\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)(giải delta)
Vậy tập nghiệm của pt trên là {...}
