Đặt: \(\sqrt{2x+1}=a,\sqrt{3-2x}=b\)
Từ đó: \(\sqrt{4x-4x^2+3}=ab\)và \(4=a^2+b^2\)
Từ đó biến đổi và giải phương trình. Đây là một cách. (T chưa giải ra :V)
Hoặc là không cần đặt ẩn phụ, biến đổi luôn:
VT=\(\frac{\left(2x-1\right)^2.\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)}{\left(2x+1\right)+\left(3-2x\right)}\)
VP=\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}+\left(\sqrt{2x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-2x}\right)^2\)
=\(\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}+1\right)\)
Đến đây có vẻ đơn giản r :>
\(\frac{\left(2x-1\right)^2\left(4x^2-4x+3\right)}{4}=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{4x-4x^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{\left(2x-1\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=4\left(2x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\right)=\left[\left(2x+1\right)-\left(3-2x\right)\right]^2\) (**)
đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2a+1}=a\ge0\\\sqrt{3-2x}=b\ge0\end{cases}}\)thì phương trình (**) trở thành
\(\hept{\begin{cases}8\left(x+b\right)=\left(a^2-b^2\right)^2\\a^2+b^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8\left(a+b\right)=\left(a^2+b^2\right)^2-4a^2b^2\left(1\right)\\a^2+b^2=4\left(2\right)\end{cases}}\)
từ (1) \(\Rightarrow8\left(a+b\right)=16-4a^2b^2\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=4-a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+2ab\right)=16-8a^2b^2+a^4b^4\)(***)
đặt ab=t \(\left(0\le t\le2\right)\)thì phương trình (***) trở thành
\(16+8t=16-8t^2+t^4\Leftrightarrow t\left(t+2\right)\left(t^2-2t-4\right)=0\)
\(\begin{matrix}t=0\left(tm\right)\\t=-2\left(loại\right)\\t=1+\sqrt{5}\left(loại\right)\\t=1-\sqrt{5}\left(loại\right)\end{matrix}\)vậy t=0 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=2\\\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt{3-2x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
