Bài này dùng phương pháp kẹp là xong, lười làm bài hả?
\(ĐK:\) \(x,y\in Z\)
Ta thấy:
\(y^2=\left(x^4+4x^3+4x^2\right)+2\left(x^2+2x\right)\)
nên \(y^2=\left(x^2+2x\right)^2+2\left(x^2+2x\right)\)
Khi đó, ta sẽ chứng minh \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\) \(\left(o\right)\) với \(a=x^2+2x\)
Thật vậy, ta có: \(y^2-a^2=2\left(x^2+2x\right)\ge0\)
\(\left(a+1\right)^2-y^2=\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x^4+4x^3+6x^2+4x\right)=1>0\)
nên \(\left(o\right)\) được chứng minh
Do \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\) nên \(y^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^4+4x^3+6x^2+4x=\left(x^2+2x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+2x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}}\)
Với \(x=0\) thì từ phương trình suy ra \(y=0\) \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)
Với \(x=-2\) thì ta cũng dễ dàng chứng minh được \(y=0\) \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)
Vậy, \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right);\left(-2;0\right)\) và các vòng hoán vị
