\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2+1}=y+\sqrt{y^2-1}\left(1\right)\\x^2+y^2-xy=1\left(2\right)\end{cases}}\) \(DK:y^2\ge1\)
Đặt: \(x^2+\sqrt{x^2+1}=y^2+\sqrt{y^2-1}=t\) . Vì: \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=\left|x\right|\ge-x\Rightarrow t=\sqrt{x^2+1}+x>0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-t=\sqrt{x^2+1}\\y-t=\sqrt{y^2-1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2xt+t^2=x^2+1\\y^2-2yt+t^2=y^2-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{t^2-1}{2t}\\y=\frac{t^2+1}{2t}\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Rightarrow\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)^2+\left(\frac{t^2+1}{2t}\right)^2-\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)\left(\frac{t^2+1}{2t}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{t^4-2t^2+1+t^4+2t^2+1-t^4+1}{4t^2}=1\)
\(\Leftrightarrow t^4+3=4t^2\Leftrightarrow t^4-4t^2+3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t^2=1\\t^2=3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Với \(t=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\left(TM\right)\)
Với \(t=\sqrt{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\left(TM\right)\)
Vậy:....
Xét pt (1) ta có
PT (1) <=> x - y = \(\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2+1}\)
<=> xy = \(1\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2-1\right)}\)
<=> y2 - x2 = 1
Thế vào pt (2) ta được
y2 + x2 - xy = y2 - x2
<=> x(2x - y) = 0
Tới đây thì đơn giản rồi
