Question

giải hpt: \(\hept{\begin{cases}x^3-8x=y^3+2y\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{cases}}\)

Answer 1

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

\(\hept{\begin{cases}x^3-y^3=2\left(4x+y\right)\\x^2-3y^2=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^3-3y^3=6\left(4x+y\right)\left(1\right)\\x^2-2y^2=6\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (2) và (1), ta được: \(3x^3-3y^3=\left(x^2-2y^2\right)\left(4x+y\right)\Leftrightarrow x^3+x^2y-12xy^2=0\)(*)

- Xét x = 0 thì ta dễ thấy không thỏa mãn

- Xét \(x\ne0\)ta chia cả hai vế của phương trình (*) cho x³, ta được\(1+\left(\frac{y}{x}\right)-12\left(\frac{y}{x}\right)^2=0\)

Đặt \(\frac{y}{x}=s\), ta được: \(-12s^2+s+1=0\Leftrightarrow\left(1-3s\right)\left(4s+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{1}{3}\\s=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\x=-4y\end{cases}}\)

Với x = 3y thay vào (2), ta được: \(9y^2-3y^2=6\Leftrightarrow6y^2=6\Leftrightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm3\)

Với x = -4y thay vào (2) ta được:\(16y^2-3y^2=6\Leftrightarrow13y^2=6\Leftrightarrow y=\pm\sqrt{\frac{6}{13}}\Rightarrow x=\mp\sqrt{\frac{96}{13}}\)

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{\left(1;3\right);\left(-1;-3\right);\left(\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{96}{13}}\right);\left(-\sqrt{\frac{3}{16}};\sqrt{\frac{96}{13}}\right)\right\}\)

Answer 2

Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có

\(6\left(x^3+y^3\right)=\left(8x+2y\right)\left(x^2+3y^2\right)\) đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc 3, Từ đó ta giải như sau

Vì x=0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y=tx khi đó hệ trở thành

\(\hept{\begin{cases}x^3-8x=t^3x^3+2tx\\x^2-3=3\left(t^2x^2+1\right)\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-t^3\right)=2t+8\\x^2\left(1-3t^2\right)=6\end{cases}}\Rightarrow\frac{1-t^3}{1-3t^2}=\frac{t+4}{3}}\)

\(\Leftrightarrow3\left(1-t^3\right)=\left(t+4\right)\left(1-3t^2\right)\Leftrightarrow12t^2-t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{1}{3}\\t=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

* \(t=\frac{1}{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\left(1-3t^2\right)=6\\y=\frac{x}{3}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm3\\y=\pm1\end{cases}}}\)

*\(t=-\frac{1}{4}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{4\sqrt{78}}{13}\\y=\mp\frac{\sqrt{78}}{13}\end{cases}}\)

Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(-3;-1\right);\left(\frac{4\sqrt{78}}{13};\frac{\sqrt{78}}{13}\right);\left(-\frac{4\sqrt{78}}{13};-\frac{\sqrt{78}}{13}\right)\right\}\)