Question

giai ho voi

tim min cua

\(A=\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)    (voi x,y la so thuc duong)

Answer 1

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}=a\) ( ĐK a > 0 )

=> A = a + 1/a 

(*)  \(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)\)( Nhân 2 vế với hai sau đưa về hằng đẳng thức ) 

=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge3\Leftrightarrow a\ge3\)

TA có \(A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{9}+\frac{1}{a}+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{a}{9}\cdot\frac{1}{a}}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Vậy GTNN của A là 10/3 tại x = y= 1