Question

Giải hệ phương trình\(\hept{\begin{cases}x=\frac{x^2+12}{2y^2}\\y=\frac{y^2+12}{2x^2}\end{cases}}\)

Answer 1

Đây là hệ phương trình Đồng bậc rồi. Chỉ cần nhân chéo là OK thôi. 

Answer 2

Lời giải:

ĐK: \(x,y\ne0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{x^2+12}{2y^2}\\y=\frac{y^2+12}{2x^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+12=2xy^2\\y^2+12=2x^2y\end{cases}}\) (thực hiện nhân chéo)

Trừ theo vế: \(\Rightarrow x^2-y^2=2xy^2-2x^2y\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=2xy\left(y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+2xy\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+2xy\right)=0\)

Do \(x=\frac{x^2+12}{2y^2}\) có \(x^2,y^2>0\Rightarrow x>0\), tương tự thì \(y>0\). Do đó \(x+y+2xy>0\)

\(\Rightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào phương trình đầu tiên: \(x=\frac{x^2+12}{2x^2}\Rightarrow2x^3=x^2+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x^2+3x+6\right)=0\)

Thấy rằng \(2x^2+3x+6=x^2+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\Rightarrow x=2\rightarrow y=2\)

Vậy hpt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(2,2\right)\)