§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đức Huy ABC

Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=64\end{matrix}\right.\)

với x, y, z là các số thực dương.

Hung nguyen
18 tháng 5 2017 lúc 8:56

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=64\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(1=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{1}{27}\)

Ta có: \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)=1+\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{xyz}\)

\(\ge1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{1}{xyz}\)

\(=1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{27^2}}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{27}}=64\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Nguyen Ha
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Ryan Park
Xem chi tiết
Yến Hoàng
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết
Trần Thị Vân Anh
Xem chi tiết
Lê Lan Hương
Xem chi tiết