§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ryan Park

Cho \(x,y,z,t>0\) thỏa mãn \(xyzt=1\)
Chứng minh \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)\)

 Mashiro Shiina
28 tháng 12 2017 lúc 14:00

Từ \(xyzt=1\) ta có: \(\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{xyzt}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}=\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\)

Đánh giá tương tự ta có:

\(pt\Leftrightarrow\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{xzt}{y^2\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{xyt}{z^2\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{xyz}{t^2\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\left(yzt+xzt+xyt+xyz\right)=3yzt+3xzt+3xyt+3xyz\)

Ta sẽ chứng minh:

\(\dfrac{yzt}{x^2\left(yz+zt+ty\right)}\ge3yzt\). Cộng theo vế rồi suy ra đpcm

T gần đi học r,có gì tối về giải full cho

Neet
29 tháng 12 2017 lúc 20:12

Áp dụng cauchy-schwarz:

\(VT=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)^2}{3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)}=VF\)

Quỳnh Trâm
21 tháng 5 2018 lúc 10:40

@Neet

\(VT=\dfrac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\dfrac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\dfrac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\dfrac{1}{t^3\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{xyz+xzt+xyt}+\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{xyz+yzt+txy}+\dfrac{\dfrac{1}{z^2}}{xyz+yzt+ztx}+\dfrac{\dfrac{1}{t^2}}{xyt+yzt+txz}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{xyz}{xyzt}+\dfrac{xzt}{xyzt}+\dfrac{xyt}{xyzt}}+\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{xyz}{xyzt}+\dfrac{yzt}{xyzt}+\dfrac{txy}{xyzt}}+\dfrac{\dfrac{1}{z^2}}{\dfrac{xyz}{xyzt}+\dfrac{yzt}{xyzt}+\dfrac{ztx}{xyzt}}+\dfrac{\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{xyt}{xyzt}+\dfrac{yzt}{xyzt}+\dfrac{txz}{xyzt}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\dfrac{1}{z^2}}{\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\)

\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)^2}{3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}\right)=VP\)


Các câu hỏi tương tự
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Nguyen Ha
Xem chi tiết
SA Na
Xem chi tiết
Son Goku
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Đắc Định
Xem chi tiết
Phạm Thúy Vy
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết