Question

Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{2x^2}{x^2+1}=y\\\frac{2y^2}{y^2+1}=z\\\frac{2z^2}{z^2+1}=x\end{cases}}\)

Answer 1

Đễ thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của hệ

Xét \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\\z\ne0\end{cases}}\)

Cộng 3 phương trình vế theo vế ta được

\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}=x+y+z\)

Ta có: \(\frac{2x^2}{x^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}=x\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{2y^2}{y^2+1}\le y\\\frac{2z^2}{z^2+1}\le z\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le x+y+z\)

Dấu =  xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0;1,1,1\right)\)

PS: Tính không làm đâu nhưng mà đồng hương nên giúp nhau vậy :D

Answer 2

nhìn hpt bự con thế này chắc xài BĐT giải r`, chờ mình tẹo :)