Ta có hình vẽ:
a) Xét \(\Delta ABH\)và \(\Delta ADH\):
BH=DH(gt)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^o\)
AH: cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHD\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AB=AD\)(2 cạnh tương ứng)(1)
Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}=90^o;\widehat{C}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=60^o\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\Delta ABD\)đều
=> Đpcm
b)Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90^o\)
\(\Rightarrow60^o+\widehat{DAC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=30^o=\widehat{DCA}\)
=> \(\Delta ADC\)cân tại D
=> DA=DC
Xét \(\Delta ADH\)và \(\Delta CDE\):
DA=DC(cmt)
\(\widehat{AHD}=\widehat{CED}=90^o\)
\(\widehat{ADH}=\widehat{CDE}\)(đđ)
\(\Rightarrow\Delta AHD=\Delta CED\left(ch-gn\right)\)
=> AH=EC (2 canh tương ứng)
=> Đpcm
c) Ta có: \(\Delta AHD=\Delta CED\)(cm câu a)
=> HD=DE
=> \(\Delta HDE\)cân tại D
Xét \(\Delta ADC\)cân tại D có \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=120^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HDE}=\widehat{ADC}=120^o\)(đđ)
\(\Rightarrow\widehat{DHE}=\widehat{DEH}=30^o\)
\(\Rightarrow\widehat{EHD}=\widehat{DCA}=30^o\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> HE//AC
=> ĐPCM
