Chứng minh bằng phản chứng :
Giả sử \(a_1\ne a_2\ne a_3\). Vì vai trò của \(a_1,a_2,a_3\) là bình đẳng nên ta có thể giả sử \(a_1>a_2>a_3\), khi đó ta có
\(\frac{\left|a_1-a_2\right|}{m_1}=\frac{\left|a_2-a_3\right|}{m_2}=\frac{\left|a_3-a_1\right|}{m_3}\)
\(\Rightarrow\frac{a_1-a_2}{m_1}=\frac{a_2-a_3}{m_2}=\frac{a_1-a_3}{m_3}=\frac{a_1-a_2+a_2-a_3+a_1-a_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{2\left(a_1-a_3\right)}{m_1+m_2+m_3}\)
\(\Rightarrow a_1-a_3=\frac{2m_3\left(a_1-a_3\right)}{m_1+m_2+m_3}\). Vì \(a_1>a_3\) nên ta chia cả hai vế đẳng thức cho \(a_1-a_3\) được \(\frac{2m_3}{m_1+m_2+m_3}=1\Rightarrow m_1+m_2+m_3=2m_3\). Dễ thấy điều vô lí vì vế trái luôn là một số lẻ , trong khi vế phải luôn là số chẵn => mâu thuẫn. => điều giả sử sai
=> Điều phải chứng minh.
