Question

giả sử a;b;c;d;A;B;C;D là những số nguyên dương và \(\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}+\frac{d}{D}\). CMR:

\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

 

Answer 1

sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)

theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)

ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

Answer 2

gt thiếu kìa. 

Answer 3

Đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\left(k>0\right)\)

\(\Rightarrow a=Ak,b=Bk,c=Ck,d=Dk\)

Ta có: 

* \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}\)

\(=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\left(A+B+C+D\right).\sqrt{k}\left(1\right)\)

* \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

\(=\sqrt{k.\left(A+B+C+D\right)^2}\)

\(=\sqrt{k}.\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

(Chúc bạn học tốt và k cho mình với nhé!)