Tìm Min của \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\) với x + y + z = 2 ?
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{2^2}{2\cdot2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Hoặc có thể làm theo cách dụng Cauchy như sau
Ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x\)
Tương tự CM được: \(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế lại ta được: \(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 2/3
