Sửa đề: cho x,y,z dương. CMR \(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^2}{2xz}\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\ge\left(x+y\right)\left(2\sqrt{x^2y^2}-xy\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^3+y^3}{2xy}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{2xy}=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{y^3+z^3}{2yz}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^3+x^3}{2xz}\ge\frac{x+z}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)
Đề sai rồi. Không cho x, y, z dương hay không là đã sai rồi. Giả sử đã cho dương rồi thì vẫn sai.
Thế \(x=y=z=2\) vào thì ta được
\(\frac{2^2+2^2}{2.2.2}+\frac{2^2+2^2}{2.2.2}+\frac{2^2+2^2}{2.2.2}\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow3\ge6\) sai.
x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 - xy + y2 )
( x + y ) \(\left(2\sqrt{x^2}y2-xy\right)\)
( x + y ) ( 2xy - xy ) = xy ( x + y )
\(x^3+\frac{y3}{2xv}>xy\left(x+\frac{x}{2xy}\right)=x+\frac{y}{2}\)
*******
\(y^3+\frac{z^3}{2yz}>y+\frac{z}{2}=z^3+\frac{x^3}{2x}>x+\frac{y}{2}\)
************************
\(VT>\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=VP\)
Ghi chú :Đẳng thức xảy ra khi x = v = z
Đề cho x , y , z dương đấy ạ. Tại sáng nay đi vội quá nên em quên ghi.
Thế \(x=y=z=1\) đúng mà :
\(\frac{1^2+1^2}{2\cdot1\cdot1}+\frac{1^2+1^2}{2\cdot1\cdot1}+\frac{1^2+1^2}{2\cdot1\cdot1}=1+1+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{2}+\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=1+1+1\)
\(\Leftrightarrow1+1+1=1+1+1\)
Dấu bằng chỉ xảy ra khi đó
