Question

\(\frac{abc}{a^3+c^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\)

giúp mình nha,mình cần gấp,cảm ơn các bạn.

dùng bất đẳng thức chebyshev được không ạ?

Answer 1

Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?

Answer 2

dạ a,b,c>0 ạ.em quên mất 

Answer 3

Với a, b, c >0

\(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\) (1)

<=> \(1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\le1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\right)\ge0\)(2)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)

Với a,b, c>0

(1) <=> \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3-ab^2-ac^2-ba^2-bc^2-ca^2-cb^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+a^2\left(a-c\right)+b^2\left(b-a\right)+b^2\left(b-c\right)+c^2\left(c-a\right)+c^2\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2\ge0\)Luôn đúng với mọi a, b, c dương

Vậy (1) đúng

"=" xảy ra <=> a=b=c

Answer 4

Cách 1 là chứng minh tương đương

Hoặc: cách 2:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Mà \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^3+b^3+c^3\right)\) ( chứng ming giống như cách trình bày 1 )

=> \(\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\)

=> \(1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\ge1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\)

=> Điều cần phải chứng minh.