Question

\(\frac{A}{B}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{103}\)

Với A , B Thuộc \(ℤ\)

CMR A : 155

Answer 1

\(\frac{A}{B}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{101}-\frac{1}{102}+\frac{1}{103}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{103}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{102}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{103}\right)-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{51}\)

\(=\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+....+\frac{1}{103}=\left(\frac{1}{52}+\frac{1}{103}\right)+\left(\frac{1}{53}+\frac{1}{102}\right)+...+\left(\frac{1}{77}+\frac{1}{78}\right)\)

\(=\frac{155}{52.103}+\frac{155}{53.102}+....+\frac{155}{77.78}\)

Các cặp số hạng của mẫu từng phân số là các cặp nguyên tố cùng nhau nên \(A⋮155\)