Question

\(\forall n\in Z,\)ta luôn có n⁵-n\(⋮30\)

Answer 1

Câu hỏi của I lay my love on you - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath giống nè,khác đk n thôi

Answer 2

\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

             \(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

             \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

              \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\right]\)

             \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n ; n+1 ; n-1 ; n+2 ; n-2 là 5 số nguyên liên tiếp

=> n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2;3;5

Mà 2;3;5 đôi một nguyên tố cùng nhau

=> n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2.3.5=30 (1)

Vì n ; n-1 ; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3) = 1

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 2.3=6

Lại có ( 5;6) = 1

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 5.6=30 (2)

Từ (1) và (2) => n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30

                    hay n⁵ - n chia hết cho 30

Vậy ..