Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em chứng minh biểu thức bằng phương pháp quy nạp toán học.
D = 13 + 23 + 33 + ...+n3 (n \(\in\) N*)
D = \(\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)
Với n = 1 ta có: D = 13= 1. D = \(\left(\dfrac{\left(1+1\right).1}{2}\right)^2\) = 1 (biểu thức đúng)
Giả sử biểu thức đúng với n = k; k \(\in\) N* tức:
13 + 23 + 33 + ...+ k3 = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2}\right)^2\) (đúng với ∀ k \(\in\) N*)
Ta cấn chứng minh: biểu thức đúng với n = k + 1; k \(\in\) N*
Nghĩa là: CM 13 + 23 +...+ (k+1)3 = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)
Thật vậy với n = k + 1 ta có:
D = 13 + 23 + 33 + ....+ (k+1)3 = (13+ 23 + 33 + ...+ k3) + (k+1)3
D = ( \(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\))2 + (k+1)3 = (k+1)2.(\(\dfrac{k^2}{4}\) + (k+1))
D = (k+1)2.(\(\dfrac{k^2+4k+4}{4}\)) = (k+1)2. ( \(\dfrac{k+2}{2}\))2
D = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)(đpcm)
Vậy 13 + 23 + 33 +...+ n3 = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2^{ }}\right)^2\) (∀ n \(\in\)N*)
