Question

Đơn giản biểu thức:M=\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{2}{3!}\)-\(\frac{3}{4!}\)-\(\frac{4}{5!}\)-...-\(\frac{2013}{2014!}\)

(Trong đó kí hiệu n! là tích của n số nguyên dương đầu tiên .Ví dụ:2!=1.2;3!=1.2.3

Answer 1

Ta có: \(\frac{n-1}{n!}=\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

Áp dụng vào M ta được:

\(M=\frac{1}{2!}-\frac{2}{3!}-\frac{3}{4!}-\frac{4}{5!}-...-\frac{2013}{2014!}\)

\(=\frac{1}{2!}-\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)-\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)-...-\left(\frac{1}{2013!}-\frac{1}{2014!}\right)\)

\(=\frac{1}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...-\frac{1}{2013!}+\frac{1}{2014!}=\frac{1}{2014!}\)