Đề thi vào 10 môn toán tỉnh Hải Dương hôm nay nè,,,,câu cuối thôi nha,,,mik cx vừa mới xem nên ai lm đc xin vui lòng để lại lời nhắn sau tiếng bíp
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3
Tìm min :\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
p/s: bản quyền thuộc về tôi,,,,để bít thêm thông tin chi tiết xin liên hệ
Tui có cách khác đây, góp vui thôi thi đừng xài (bí lắm xài cx dc)
Dự đoán dấu "=" xảy khi \(x=y=z=1\) tính được \(P=3\)
Vậy cần chứng minh đó là GTNN của P
Thật vậy, tức là cần chứng minh
\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3+3x}{9+9y^2}+\frac{3+3y}{9+9z^2}+\frac{3+3z}{9+9x^2}\ge1\)
\(\LeftrightarrowΣ\frac{4x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2+9y^2}\ge\frac{3}{x+y+z}\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(7x^6+30x^5y+21x^5z-6x^4y^2+57x^4z^2+14x^3y^3+75x^4yz-6x^3y^2z+66x^3z^2y-258x^2y^2z\right)\ge0\)
BĐT cuối đúng vì \(Σx^6\geΣx^4y^2\) theo BĐT Rearrangement còn lại đúng theo AM-GM
P/s:dưới chân mỗi Σ bn ghi chữ "cyc" hộ mk nhé
Hướng giải nè:
P/s: đây là cách giải của bản thân mik nên chưa bt nó tối ưu chưa
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2.\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{y.\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)
bạn lm tương tự r cộng vào,,đánh giá nốt là ok
Hướng giải của tôi nha :
P/s : Đây là cách giải của mình nhưng mình không chắc lắm
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\left(x+1\right)-\frac{y^2x\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge\left(x+1\right)-\frac{ỹ\left(x+1\right)}{2}=x-\frac{y}{2}+1-\frac{xy}{2}\)
Áp dụng cái này nè bạn \(3\left(xy+ỹ+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2\)
Áp dụng bđt savacsơ :
\(P\ge\frac{36}{x^2+y^2+z^2_{ }+3}>\frac{36}{\left(x+y+z\right)^2+3}=\frac{36}{9+3}=\frac{36}{12}=3\)
tao là tao làm như vậy =))
@Long : sai lè lưỡi nhé làm gì có bình phương ở tử mà bn áp dụng BĐT đó
ta có:
\(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{z^2+1}+\frac{z+1}{x^2+1}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}+1-\frac{y^2}{y^2+1}+y-\frac{yz^2}{1+z^2}+1-\frac{z^2}{z^2+1}+z-\frac{zx^2}{1+x^2}+1-\frac{x^2}{x^2+1}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)+3-\frac{xy^2}{2y}-\frac{yz^2}{2z}-\frac{zx^2}{2x}-\frac{y^2}{2y}-\frac{z^2}{2z}-\frac{x^2}{2x}=3+3-\frac{xy+yz+zx}{2}-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\ge6-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}-\frac{1}{2}.3=6-\frac{9}{6}-\frac{3}{2}=3\)
