Question

Đề bài: Chứng minh rằng 1.3.5.  …  .(2n-1) / (n+1).(n+2).  …  .2n = 1/2n. Đề bài: Chứng minh rằng 1.3.5.  …  .(2n-1) / (n+1).(n+2).  …  .2n = 1/2n. 

Answer 1

Ta có: 1.3.5...(2n - 1) = { [1.3.5....(2n - 1)].(2.4.6...2n) }/(2.4.6...2n) = (1.2.3.4....2n)/[ (1.2).(2.2).(3.2)...(n.2) ] = {(1.2.3.4...n).[ (n + 1)(n + 2)...2n ] }/[ (1.2.3..n)(2.2.2...2) ] = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) => 1.3.5...(2n - 1) = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) Do n ∈ Z+ => 1.3.5...(2n - 1) thuộc nguyên dương => [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) thuộc nguyên dương => [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho (2.2.2...2) Bây giờ ta cần tìm số chữ số 2 trong cụm (2.2.2....2) Ta thấy: 2 -> 2n có (2n - 2)/2 + 1 = n chữ số => trong cụm (2.2.2...2) có n chữ số 2 (Vì trong mỗi số từ 2 -> 2n ta đều lấy ra 1 số 2) => [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho 2^n 

Answer 2

Ta có: 1.3.5...(2n - 1) 
= { [1.3.5....(2n - 1)].(2.4.6...2n) }/(2.4.6...2n) 
= (1.2.3.4....2n)/[ (1.2).(2.2).(3.2)...(n.2) ] 
= {(1.2.3.4...n).[ (n + 1)(n + 2)...2n ] }/[ (1.2.3..n)(2.2.2...2) ] 
= [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) 
=> 1.3.5...(2n - 1) = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) 
Do n ∈ Z+ => 1.3.5...(2n - 1) thuộc nguyên dương 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) thuộc nguyên dương 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho (2.2.2...2) 
Bây giờ ta cần tìm số chữ số 2 trong cụm (2.2.2....2) 
Ta thấy: 2 -> 2n có (2n - 2)/2 + 1 = n chữ số => trong cụm (2.2.2...2) có n chữ số 2 (Vì trong mỗi số từ 2 -> 2n ta đều lấy ra 1 số 2) 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho 2^n