Cuối cùng trong năm 2021 thôi nhé.
Đặt biểu thức trên là A
TC
√1 + 1/1^2 + 1/2^2 = 1 + 1 - 1/2
Tương tự
√1 + 1/2^2 + 1/3^2 = 1 + 1/2 - 1/3
√1 + 1/2021^2 + 2022^2 = 1 + 1/2021 - 1/2022
=> A = (1 + 1 + 1/3 +...+ 1/2021) - (1/2 + 1/3 +....+ 1/2022)
=> A = 1 + 1 - 1/2022 = 4043/2022
đúng không bạn
Dựa theo dạng này nha em
Với \(a+b+c=0\left(abc\ne0\right)\) ta có :
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng cho từng thừa số A ( anh gọi biểu thức này là A ) , ta có :
\(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{-3}\right)-2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{-3}\right)-2.\frac{3-2-1}{6}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)
Tương tự : \(\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)
\(\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}=1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{100}\right)\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=\frac{149}{100}\)
Đáp án:
Với \(a,b,c\inℚ\)khác nhau và khác 0; \(a+b=c\), xét biểu thức:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-2.\frac{a+b-c}{abc}\)\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\)
Do \(a+b=c\)nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\ge0\)nên \(\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
Như vậy \(A=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2021^2}+\frac{1}{2022^2}}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)\)
\(=2021+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)\)
\(=2022-\frac{1}{2022}\)
\(=\frac{2022^2-1}{2022}\)
Thật ra chỉ cần tính ra như thế này là xong rồi.
Xét số hạng tổng quát: \(1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}\)với k là số nguyên dương, ta có:
\(1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=1^2+\left(\frac{1}{k}\right)^2+\left(\frac{1}{k+1}\right)^2\)
\(=1^2+\left(\frac{1}{k}\right)^2+\left(\frac{1}{k+1}\right)^2+2\left(1\cdot\frac{1}{k}\right)-2\left(\frac{1}{k}\right)\left(\frac{1}{k+1}\right)-2\left(\frac{1}{k+1}\right)1\)
Vì: \(2\left(1\cdot\frac{1}{k}\right)-2\left(\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{k+1}\right)-2\left(\frac{1}{k+1}1\right)=2\cdot\left(\frac{k+1-1-k}{k\left(k+1\right)}\right)=0\)
Vậy: \(1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}=\left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)^2\)
Nên: \(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}=\left|1+\frac{1}{k}-\frac{1}{\left(k+1\right)}\right|=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)
Áp dụng vào bài:
\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}\right)\)
\(=2021+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}=2022-\frac{1}{2022}=2021,99\)
\(=2021,99\)kiểu gì nhỉ
Số nguyên dương không dựa theo biểu thức của mỗi biểu thức nằm trong căn không được phép biểu thị bằng k , vì k không thuộc trong mõi biểu thức chứa căn bậc
