Question

 

ΔABC có trọng tâm G , l là 1 đường thẳng bất kì sao cho A,B,C,G nằm cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường l . A' , B' , C' , G' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,C,G lên đường l . Chứng minh rằng : GG' = ( AA' + BB' + CC' ) / 3 

Mong mn giúp mình vs ạ  ! Mình cảm ơn trc !

Answer 1

Sr mình làm hơi trễ, tại mình đang bận học á.

Không mất tính tổng quát, giả sử đường thẳng l nằm trong mặt phẳng bờ BC không chứa A.

Gọi M,M' lần lượt là trung điểm BC,B'C'. Dễ thấy MM' là đường trung bình của hình thang BCC'B' nên \(2MM'=BB'+CC'\). Vậy ta cần chứng minh \(3GG'=2MM'+AA'\).

Gọi T là trung điểm AG, khi đó G là trung điểm MT.

Gọi T' là trung điểm A'G'. Rõ ràng TT' là đường trung bình của hình thang AA'G'G và GG' là đường trung bình của TT'M'M. Khi đó: \(AA'+GG'=2TT';TT'+MM'=2GG'\)

\(\Rightarrow AA'+GG'=2\left(2GG'-MM'\right)\)

\(\Rightarrow AA'+2MM'=3GG'\Rightarrowđpcm\)