Question

co x,y là các số thực duwqowng thỏa mãn:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2.\)chứng minh \(5x^2+y-4xy+y^2\ge3\)

Answer 1

Ta có: 

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Rightarrow xy\ge2\)

\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\)

\(\ge x^2+y=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\)(Đpcm)

Dấu = khi x=1;y=2

Answer 2

nhớ k lầm là t lm bài này r` thì fai

Answer 3

mik ko có thời gian nên mik trả lời luôn nhé:x=1;y=2

Answer 4

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(\frac{1}{x};\frac{2}{y}\) , ta được:

\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{2}{y}}\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Leftrightarrow1\ge\sqrt{\frac{2}{xy}}\Leftrightarrow1\ge\frac{2}{xy}\Leftrightarrow xy\ge2\)

Khi đó: \(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\ge x^2+y\ge x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\) (1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương \(x^2;\frac{y}{2};\frac{y}{2}\) , ta được:

\(x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x^2.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2}{4}}\ge3\sqrt[3]{\frac{2^2}{4}}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(5x^2+y-4xy+y^2\ge3\)

Dấu '=' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=1\\x^2=\frac{y}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

Answer 5

em học lớp 6 nên làm thế này thôi

GỈA SỬ x=1 y=2  .Được 5x1²+2-4x1x2+2²=5x1+2-4x1x2+4=5+2-4x2+4=5+2-8=7-8= -1

Vậy x=1 và y=2