thực ra đề gốc hỏi x+y có phải là số chính phương hay không, x,y,z thuộc N*, có bạn làm thế này:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z.\left(x+y\right)=xy\)
Giả sử x+y là số chính phương. Đặt x+y=k2
mà \(z.\left(x+y\right)=xy\)
\(\Leftrightarrow zk^2=xy\)
Vì x,y là số nguyên tố => 1 trong 2 số chia hết cho k2 vì x,y,z thuộc N*
Giả sử x=n.k2 (n thuộc N*)
mà \(zk^2=xy\)
\(\Leftrightarrow zk^2=n.k^2.y\Leftrightarrow z=n.y\Leftrightarrow\frac{z}{y}=n\), vì x,y là 2 số nguyên tố cùng nhau => n không thuộc N*(vô lí)
vậy x+y ko phải số chính phương
Bạn đó làm đã đúng chưa, nếu sai hãy sửa lại :v
Thử, đúng hay sai thì tùy, mình mới học sơ sơ dạng này thôi, nếu sai xin đừng bốc phốt...:v
Theo đề bài\(z\left(x+y\right)=xy\Leftrightarrow x+y=\frac{xy}{z}\) và (x;y;z) = 1
Giả sử x + y là số chính phương khi đó \(\frac{xy}{z}=k^2\left(k\inℕ^∗\right)\Leftrightarrow xy=k^2.z\)
Suy ra xy chia hết cho z. Mà x, y, z nguyên tố cùng nhau nên x và y đều không chia hết cho z.
\(\Rightarrow xy=z\). Khi đó \(\left(x;y;z\right)=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(y;z\right)=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(y;xy\right)=1\) (vô lí vì
\(\left(y;xy\right)=y\))
Vậy ko tồn tại x, y,z..
gs: a+b là scp
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow k^2c=ab\Rightarrow k^2c⋮a\Rightarrow k^2⋮a\left(\left(a,c\right)=1\right);\)
tuong tự: ta cm đc: \(k^2⋮b\Rightarrow k^2⋮ab\left(\left(a,b\right)=1\right)\)
mà: (b,c)=1;(a,c)=1;(a,b)=1 nên:
\(k^2c>ab\left(vl\right)\Rightarrow a+b\)ko là scp
