Question

CM\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

chia hết cho 24 với mọi x thuộc Z

Answer 1

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

\(S=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

\(S=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n^2+2n-n-2\right)\)

\(S=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right]\)

\(S=n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)

Dễ thấy S là tích của 4 số nguyên liên tiếp, do đó S chia hết cho 24 ( đpcm )

Answer 2

\(S=\left(n^2+n-1\right)^2-1\)

    \(=\left(n^2+n-1\right)^2-1^2\)

    \(=\left(n^2+n-1-1\right)\left(n^2+n-1+1\right)\)

     \(=\left(n^2+n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

      \(=\left(n^2-n+2n-2\right)\left(n^2+n\right)\)

        \(=\left[n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)\right]\left(n+1\right).n\)

        \(=\left(n-1\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\)

          \(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Tích của 4 số liên tiếp luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow S⋮24\)