Trước hết chứng minh \(\sqrt[3]{2}\) là một số vô tỉ.
Ta giả sử \(\sqrt[3]{2}\)hữu tỉ thì luôn tồn tại các số nguyên \(m,n\ne0\)sao cho \(\left(m,n\right)=1\)và \(\sqrt[3]{2}=\frac{m}{n}\)(1)
Suy ra \(\frac{m^3}{n^3}=2\)\(\Rightarrow\)\(m^3=2n^3\)\(\Rightarrow\)\(m^3\)chia hết cho \(n^3\)
Gọi \(k\)là 1 ước nguyên tố nào đó của \(n\)thế thì \(m^3\)chia hết cho \(k\)do đó \(m\)chia hết cho \(k\)
Như vậy \(k\)là ước nguyên tố của \(m\)và \(n\), trái với \(\left(m,n\right)=1.\)Vậy \(\sqrt[3]{2}\) là một số vô tỉ.
Ta quay trở lại giải bài toán trên:
Giả sử tồn tại các số hữu tỉ p, q, r với \(r>0\)sao cho \(\sqrt[3]{2}=p+q\sqrt{r}.\)Khi đó \(p\)và \(q\)không đồng thời bằng 0.
Ta có \(2=\left(p+q\sqrt{r}\right)^3=p^3+3p^2q\sqrt{r}+3pq^2r+q^3r\sqrt{r}\)
\(\Rightarrow\)\(2-p^3-3pq^2r=3p^2q\sqrt{r}+q^3r\sqrt{r}=q\left(3p^2+q^2r\right)\sqrt{r}\)(*)
- Nếu \(q\left(3p^2+q^2r\right)=0\)thì \(q=0\)\(\Rightarrow\)\(p=\sqrt[3]{2},\)vô lý.
- Nếu \(q\left(3p^2+q^2r\right)\ne0\)thì (*) \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{r}=\frac{2-p^3-3pq^2r}{q\left(3p^2+q^2r\right)}\)
Do đó \(\sqrt[3]{2}=p+q\sqrt{r}\)là một số hữu tỉ (mâu thuẫn).
Vậy ta có đpcm.
