Đặt A= biểu thức. Ta có:
A=n4-14n3+71n2-154n+120=n4-3n3-11n3+33n2+38n2-114n-40n+120=n3(n-3)-11n2(n-3)+38n(n-3)-40(n-3)=(n-3)(n3-11n2+38n-40)
A=(n-3)(n3-4n2-7n2+28n+10n-40)=(n-3)[n2(n-4)-7n(n-4)+10(n-4)]=(n-3)(n-4)(n2-7n+10)
A=(n-3)(n-4)(n2-5n-2n+10)=(n-3)(n-4)[n(n-5)-2(n-5)]
=> A=(n-3)(n-4)(n-5)(n-2)
=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)
Ta nhận thấy: (n-2); (n-3); (n-4) và (n-5) là 4 số tự nhiên liên tiếp => Có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (Vì 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3)
Và vì là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có 2 số chẵn trong đó có 1 số chẵn chia hết cho 4 => Chia hết cho 8
=> A=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) chia hết cho 3.8=24
=> A chia hết cho 24 (đpcm)
Ta có:\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(10n^3-40n^2\right)+\left(31n^2-124n\right)-\left(30n-120\right)\)
\(=\left(n-4\right)\left(n^3-10n^2+31n-30\right)=\left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n^2-5n+6\right)\)
\(=\left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\)
với n nguyên thì \(\left(n-4\right)\left(n-5\right)\left(n-3\right)\left(n-2\right)⋮24\)vì là tích của 4 số nguyên liên tiếp
Vây........................
