Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
\("a+b+c""ab+bc+ac"\le\frac{8}{9}"a+b""b+c""c+a"\)
\(\Leftrightarrow a"b-c"^2+b"c-a"^2+c"a-b"^2\ge0\)luôn đúng
P/s: Máy mk lác dấu ngoặc đơn rồi nên dùng tạm dấu ngoặc kép thông cảm cho mk nhé
chủ acc cũ gà thật:vv
Xét \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
cô xóa giùm e câu đó ạ :(( lỡ bấm trả lời
Xét \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+b^2a+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(ab^2+a^2b+abc\right)+\left(abc+b^2c+bc^2\right)+\left(a^2c+c^2a+abc\right)\)
\(=ab\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Suy ra \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
Sử dụng bđt AM-GM ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(< =>\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(< =>-abc\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(< =>\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)
