102 = 2.3.17
+) Chứng minh A chia hết cho 2
\(220^{119^{69}}=\left(....0\right)\)
\(69^{220}\) lẻ => \(119^{69^{220}}=\left(....9\right)\)
220119 tận cùng là 0 => kết qỉa là số chẵn => \(69^{220^{119}}=\left(....1\right)\)
=> A có tận cùng là chữ số 0 => A chia hết cho 2 (1)
+) A chia hết cho 3
220 đồng dư với 1 (mod 3) => \(220^{119^{69}}\) đồng dư với 1 mod 3
119 đồng dư với -1 mod 3 => \(119^{69^{220}}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{69^{220}}=-1\) (mod 3)
69 chia hết cho 3 nên \(69^{220^{119}}\) chia hết cho 3 hay \(69^{220^{119}}\) đồng dư với 0 (mod 3)
=> A đồng dư với 1 +(-1) + 0 = 0 (mod 3) =>A chia hết cho 3 (2)
+) A chia hết cho 17
220 đồng dư với (-1) mod 3 => \(220^{119^{69}}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{119^{69}}=-1\) ( mod 3)
119 chia hết cho 17 nên \(119^{69^{220}}\) chia hết cho 17
69 đồng dư với 1 mod 17 => \(69^{220^{119}}\) đồng dư với 1 mod 17
=> A đồng dư với (-1) + 0 + 1 = 0 mod 17
=> A chia hết cho 17 (3)
Từ (1)(2)(3) => A chia hết cho 2.3.17 = 102
\(220\equiv0\left(mod2\right)\) nên \(220^{119^{69}}\equiv0\left(mod2\right)\)
\(119\equiv1\left(mod2\right)\) nên \(119^{69^{220}}\equiv1\left(mod2\right)\)
\(69\equiv-1\left(mod2\right)\)nên \(69^{220^{119}}\equiv-1\left(mod2\right)\)
Vậy \(A\equiv0\left(mod2\right)\)hay A chia hết cho 2
Tương tự: A chia hết cho 3; A chia hết cho 17
Vì 2,3,17 là các snt => A chia hết cho 102
