Question

CMR :

x^2 + 2xy + 2y^2 + y + 1/ 2 > 0 ( với mọi x; y )

Answer 1

\(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\)

\(=x^2+2xy+y^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)

\(=\left(x+y\right)^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)

Có: \(\left(x+y\right)^2\ge0\)

\(y^2\ge y\ge0\Rightarrow y^2+y\ge0\)

\(\frac{1}{2}>0\)

\(\Rightarrow x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}>0\) với mọi x

Answer 2

xét vế trái:     \(x^2+2xy+2y^2+y+\frac{1}{2}\)    =\(x^2+2xy+y^2+y^2+y+\frac{1}{2}\)

                                                                        = \(\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+y+\frac{1}{2}\right)\)

                                                                        = \(\left(x+y\right)^2+\left(y^2+2.\frac{1}{2}.y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\)

                                                                        =  \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

  vì \(\left(x+y\right)^2>=0\) và \(\left(y+\frac{1}{2}\right)^2>=0\)  =>   \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2>=0\)

   mà    1/4 >0    =>     \(\left(x+y\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)