Question

CMR : Với x, y, z là số thực khác 0

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

Nếu có tên BĐT này thì cho mik biết với :3

Answer 1

BĐT CẦN CM 

<=>   \(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

<=>   \(\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge9xyz\)

ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ TA ĐƯỢC:

\(\hept{\begin{cases}xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\end{cases}}\)

NHÂN 2 BĐT ĐÓ LẠI TA ĐƯỢC:

\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.3\sqrt[3]{xyz}=9\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=9xyz\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

Answer 2

Đây là bất đẳng thức Svacxo nhé 

và đây là dạng tổng quát và cách chứng minh 

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Ta có : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)

\(< =>\left(a^2x+b^2y\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(< =>\left(bx-ay\right)^2\ge0\)*đúng*

Áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có : 

\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh